Matematicas De Secundaria

Las Matematicas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el universo

Ecuaciones Cuadraricas o de Segundo Grado 

Una ecuación de segundo grado/ cuadratica es toda expresión de la forma:

ax2 + bx +c = 0Se resuelve mediante la siguiente fórmula:

 

fórmula

 

Ejemplos:

ecuaciçon

solución 

 

ecuación

solución

 

Ecuaciones de segundo grado incompletas

Se dice que una ecuación de segundo grado es incompleta cuando alguno de los coeficientes, b o c, o ambos, son iguales a cero.

Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas

Tenemos: 

ax2 + bx = 0

Extraemos factor común x:

ecuación

solución

solución

Ejemplos:

ecuación

ecuación

solución

solución

 

ecuación

solución

solución

solución

 

Estudio de las soluciones de la ecuación de 2º grado

Tenemos:  

ax2 +bx +c = 0

expresión

b2 − 4ac se llama discriminante de la ecuación y permite averiguar en cada ecuación el número de soluciones. Podemos distinguir tres casos:

b2 − 4ac > 0

La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales distintos.

ecuaciçon

solución

b2 − 4ac = 0

La ecuación tiene una solución doble.

ecuación

solución

b2 − 4ac < 0

La ecuación no tiene soluciones reales.

ecuación

solución

 

Propiedades de las soluciones de 2º Grado

Esto te puede servir para COMPROBAR  las ecuaciones cuadraticas. 

La suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:

expresión

El producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:

expresión

 

Ecuación de 2º grado a partir de sus soluciones

Si conocemos las raíces de una ecuación, podemos escribir ésta como:

expresión

Siendo S = x1 + x2 y P = x1 · x2

Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son: 3 y −2.

S= 3 − 2 = 1

P = 3 · 2 = 6

x2 − x + 6 = 0

 

Ejercicio # 1

I.Resolver las ecuaciones completas de segundo grado:

1ecuaciçon

2ecuación

3ecuación

4ecuación

5ecuación

6ecuación

7ecuación

8x2 + (7 − x)2 = 25

97x2 + 21x − 28 = 0

10−x2 + 4x − 7 = 0

11ecuación

126x2 −5x +1 = 0

13ecuación

14ecuación

15ecuación

16ecuación

 

Ejercicio 2

 II. Resuelve las ecuaciones de segundo grado incompletas: 

1Ecuación

2ecuación

3ecuación

4ecuación

5ecuación

612x2 − 3x = 0

7ecuación

8ecuación

9ecuación

Problemas con Ecuaciones Cuadraticas

 III. Resolver los problemas  de ecuaciones cuadraticas

1 La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números.

2 Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro.

3Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca.

4Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².

5Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².

6Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.

7Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es fracción.

8Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es 580. ¿Cuáles son esos números?

9Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por sí solo en tres horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda a cada uno separadamente?

10Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas en centímetros tres números pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados.

11Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja de 840 cm3 cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja.

 

Resolucion de los problemas cuadraticos

1  La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números.

x2 − Sx + P = 0

ecuación

solución

2 Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro.

Edad actual flecha x

Edad hace 13 años flecha x − 13

Edad dentro de 11 años flecha x + 11

ecuación

ecuación

solución

Edad actual flecha 21

3 Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca.

esquema

Semiperímetroflecha 55

Base flecha x

Altura flecha 55 − x

x · (55 − x) = 750

x2 − 55x + 750 = 0

x = 25      x = 30

Las dimensiones de la finca son 30 m y 25 m

4.  Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².

esquema

1er lado (base)flecha 3x

2º lado (altura) flecha 4x

3er lado flecha 5x

ecuación

solución

1er lado flecha 6 m

2º lado flecha 8 m

3er lado flecha 10 m

5. Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².

esquema

(50 + 2x) · (34 + 2x) − 50 · 34 = 540

4x2 + 168x − 540 = 0        x2 + 42x − 135 = 0

x = 3 y x = −45

La anchura del camino es 3 m .

6.Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.

Base flecha 48x : 12 = 4x

Altura flecha 36x : 12 = 3x

esquema

(4x)2 + (3x)2 = 752

25x2 = 5625

x2 = 225      x = 15

Base flecha 4 · 15 = 60 m

Altura flecha 3 · 15 = 45 m

7.Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es fracción.

ecuación

MCM

ecuación

solución

8. Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es 580. ¿Cuáles son esos números?

1er número flechax

2º número flecha x + 2

ecuación

ecuación

ecuación

solución

1er número flecha16

2º número flecha 18

9. Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por sí solo en tres horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda a cada uno separadamente?

Tiempo de A flecha x

Tiempo de B flecha x+ 3

A flecha fracción

B flecha fracción

A y B flecha fracción

ecuación

mcm

ecuación

solución

Tiempo de A flecha 3 horas

Tiempo de B flecha 6 horas

10. Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas en centímetros tres números pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados.

esquema

1ercatetoflecha 2x

2º cateto flecha 2x + 2

Hipotenusa flecha 2x + 4

(2x)2 + (2x + 2)2 = (2x + 4)2

4x2 + 4x2 + 8x + 4 = 4x2 + 16x + 16

4x2 − 8x − 12 = 0         x2 − 2x − 3 = 0

x = 3 y x= −1

1ercatetoflecha 6 cm

2º cateto flecha 8 cm

Hipotenusa flecha10 cm

11. Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja de 840 cm3 cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja.

esquema

6 (x − 12) · (x + 4 −12) = 840       (x − 12) · (x −8) = 140

x2 − 20x − 44 = 0    x = 22 y x= −2

Las dimensiones son: 26 cm y 22 cm.

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